應(yīng)用題的題型總結(jié)和解題方法

時(shí)間：2024-07-22 05:57:46

應(yīng)用題的題型總結(jié)和解題方法

應(yīng)用題的題型總結(jié)和解題方法

　　小學(xué)數(shù)學(xué)中把含有數(shù)量關(guān)系的實(shí)際問題用語言或文字?jǐn)⑹龀鰜恚@樣所形成的題目叫做應(yīng)用題。任何一道應(yīng)用題都由兩部分構(gòu)成。第一部分是已知條件(簡稱條件)，第二部分是所求問題(簡稱問題)。應(yīng)用題的條件和問題，組成了應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)。

　　11 行船問題

　　【含義】行船問題也就是與航行有關(guān)的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度;水速是水流的速度，船只順?biāo)叫械乃俣仁谴倥c水速之和;船只逆水航行的速度是船速與水速之差。

　　【數(shù)量關(guān)系】

　　(順?biāo)俣?逆水速度)÷2=船速

　　(順?biāo)俣?逆水速度)÷2=水速

　　順?biāo)?船速×2-逆水速=逆水速+水速×2

　　逆水速=船速×2-順?biāo)?順?biāo)?水速×2

　　【解題思路和方法】

　　大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。

　　例1 一只船順?biāo)?20千米需用8小時(shí)，水流速度為每小時(shí)15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時(shí)?

　　解由條件知，順?biāo)?船速+水速=320÷8，而水速為每小時(shí)15千米，所以，船速為每小時(shí) 320÷8-15=25(千米)

　　船的逆水速為 25-15=10(千米)

　　船逆水行這段路程的時(shí)間為 320÷10=32(小時(shí))

　　答：這只船逆水行這段路程需用32小時(shí)。

　　例2 甲船逆水行360千米需18小時(shí)，返回原地需10小時(shí);乙船逆水行同樣一段距離需15小時(shí)，返回原地需多少時(shí)間?

　　解由題意得甲船速+水速=360÷10=36

　　甲船速-水速=360÷18=20

　　可見 (36-20)相當(dāng)于水速的2倍，

　　所以，水速為每小時(shí) (36-20)÷2=8(千米)

　　又因?yàn)椋?乙船速-水速=360÷15，

　　所以，乙船速為 360÷15+8=32(千米)

　　乙船順?biāo)贋?32+8=40(千米)

　　所以，乙船順?biāo)叫?60千米需要

　　360÷40=9(小時(shí))

　　答：乙船返回原地需要9小時(shí)。

　　例3 一架飛機(jī)飛行在兩個(gè)城市之間，飛機(jī)的速度是每小時(shí)576千米，風(fēng)速為每小時(shí)24千米，飛機(jī)逆風(fēng)飛行3小時(shí)到達(dá)，順風(fēng)飛回需要幾小時(shí)?

　　解這道題可以按照流水問題來解答。

　　(1)兩城相距多少千米?

　　(576-24)×3=1656(千米)

　　(2)順風(fēng)飛回需要多少小時(shí)?

　　1656÷(576+24)=2.76(小時(shí))

　　列成綜合算式

　　[(576-24)×3]÷(576+24)

　　=2.76(小時(shí))

　　答：飛機(jī)順風(fēng)飛回需要2.76小時(shí)。

　　12 列車問題

　　【含義】這是與列車行駛有關(guān)的一些問題，解答時(shí)要注意列車車身的長度。

　　【數(shù)量關(guān)系】

　　火車過橋：過橋時(shí)間=(車長+橋長)÷車速

　　火車追及：追及時(shí)間=(甲車長+乙車長+距離)÷(甲車速-乙車速)

　　火車相遇：相遇時(shí)間=(甲車長+乙車長+距離)÷(甲車速+乙車速)

　　【解題思路和方法】

　　大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。

　　例1 一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米?

　　解火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。

　　(1)火車3分鐘行多少米? 900×3=2700(米)

　　(2)這列火車長多少米? 2700-2400=300(米)

　　列成綜合算式 900×3-2400=300(米)

　　答：這列火車長300米。

　　例2 一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了2分5秒鐘時(shí)間，求大橋的長度是多少米?

　　解火車過橋所用的時(shí)間是2分5秒=125秒，所走的路程是(8×125)米，這段路程就是(200米+橋長)，所以，橋長為

　　8×125-200=800(米)

　　答：大橋的長度是800米。

　　例3 一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時(shí)間?

　　解從追上到追過，快車比慢車要多行(225+140)米，而快車比慢車每秒多行(22-17)米，因此，所求的時(shí)間為

　　(225+140)÷(22-17)=73(秒)

　　答：需要73秒。

　　例4 一列長150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個(gè)扳道工人以每秒3米的速度迎面走來，那么，火車從工人身旁駛過需要多少時(shí)間?

　　解如果把人看作一列長度為零的火車，原題就相當(dāng)于火車相遇問題。

　　150÷(22+3)=6(秒)

　　答：火車從工人身旁駛過需要6秒鐘。

　　例5 一列火車穿越一條長2000米的隧道用了88秒，以同樣的速度通過一條長1250米的大橋用了58秒。求這列火車的車速和車身長度各是多少?

　　解車速和車長都沒有變，但通過隧道和大橋所用的時(shí)間不同，是因?yàn)樗淼辣却髽蜷L。可知火車在(88-58)秒的時(shí)間內(nèi)行駛了(2000-1250)米的路程，因此，火車的車速為每秒

　　(2000-1250)÷(88-58)=25(米)

　　進(jìn)而可知，車長和橋長的和為(25×58)米，

　　因此，車長為 25×58-1250=200(米)

　　答：這列火車的車速是每秒25米，車身長200米。

　　13 時(shí)鐘問題

　　【含義】就是研究鐘面上時(shí)針與分針關(guān)系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時(shí)鐘問題可與追及問題相類比。

　　【數(shù)量關(guān)系】

　　分針的速度是時(shí)針的12倍，

　　二者的速度差為11/12。

　　通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計(jì)算。

　　【解題思路和方法】

　　變通為“追及問題”后可以直接利用公式。

　　例1 從時(shí)針指向4點(diǎn)開始，再經(jīng)過多少分鐘時(shí)針正好與分針重合?

　　解鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時(shí)走60格;時(shí)針每小時(shí)走5格，每分鐘走5/60=1/12格。每分鐘分針比時(shí)針多走(1-1/12)=11/12格。4點(diǎn)整，時(shí)針在前，分針在后，兩針相距20格。所以

　　分針追上時(shí)針的時(shí)間為 20÷(1-1/12)≈ 22(分)

　　答：再經(jīng)過22分鐘時(shí)針正好與分針重合。

　　例2 四點(diǎn)和五點(diǎn)之間，時(shí)針和分針在什么時(shí)候成直角?

　　解鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時(shí)候相差15格(包括分針在時(shí)針的前或后15格兩種情況)。四點(diǎn)整的時(shí)候，分針在時(shí)針后(5×4) 格，如果分針在時(shí)針后與它成直角，那么分針就要比時(shí)針多走 (5×4-15)格，如果分針在時(shí)針前與它成直角，那么分針就要比時(shí)針多走(5×4+15)格。再根據(jù)1分鐘分針比時(shí)針多走(1-1/12)格就可以求出二針成直角的時(shí)間。

　　(5×4-15)÷(1-1/12)≈ 6(分)

　　(5×4+15)÷(1-1/12)≈ 38(分)

　　答：4點(diǎn)06分及4點(diǎn)38分時(shí)兩針成直角。

　　例3 六點(diǎn)與七點(diǎn)之間什么時(shí)候時(shí)針與分針重合?

　　解六點(diǎn)整的時(shí)候，分針在時(shí)針后(5×6)格，分針要與時(shí)針重合，就得追上時(shí)針。這實(shí)際上是一個(gè)追及問題。

　　(5×6)÷(1-1/12)≈ 33(分)

　　答：6點(diǎn)33分的時(shí)候分針與時(shí)針重合。

　　14 盈虧問題

　　【含義】根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余(盈)，一次不足(虧)，或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧問題。

　　【數(shù)量關(guān)系】

　　一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：

　　參加分配總?cè)藬?shù)=(盈+虧)÷分配差

　　如果兩次都盈或都虧，則有：

　　參加分配總?cè)藬?shù)=(大盈-小盈)÷分配差

　　參加分配總?cè)藬?shù)=(大虧-小虧)÷分配差

　　【解題思路和方法】

　　大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。

　　例1 給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個(gè)就余11個(gè);若每人分4個(gè)就少1個(gè)。問有多少小朋友?有多少個(gè)蘋果?

　　解按照“參加分配的總?cè)藬?shù)=(盈+虧)÷分配差”的數(shù)量關(guān)系：

　　(1)有小朋友多少人?(11+1)÷(4-3)=12(人)

　　(2)有多少個(gè)蘋果? 3×12+11=47(個(gè))

　　答：有小朋友12人，有47個(gè)蘋果。

　　例2 修一條公路，如果每天修260米，修完全長就得延長8天;如果每天修300米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米?

　　解題中原定完成任務(wù)的天數(shù)，就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，按照“參加分配的總?cè)藬?shù)=(大虧-小虧)÷分配差”的數(shù)量關(guān)系，可以得知

　　原定完成任務(wù)的天數(shù)為

　　(260×8-300×4)÷(300-260)=22(天)

　　這條路全長為 300×(22+4)=7800(米)

　　答：這條路全長7800米。

　　例3 學(xué)校組織春游，如果每輛車坐40人，就余下30人;如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車?多少人?

　　解本題中的車輛數(shù)就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，于是就有

　　(1)有多少車?(30-0)÷(45-40)=6(輛)

　　(2)有多少人? 40×6+30=270(人)

　　答：有6 輛車，有270人。

　　15 工程問題

　　【含義】工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時(shí)間三者之間的關(guān)系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項(xiàng)工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時(shí)，常常用單位“1”表示工作總量。

　　【數(shù)量關(guān)系】

　　解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)(它表示單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾)，進(jìn)而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時(shí)間三者之間的關(guān)系列出算式。

　　工作量=工作效率×工作時(shí)間

　　工作時(shí)間=工作量÷工作效率

　　工作時(shí)間=總工作量÷(甲工作效率+乙工作效率)

　　【解題思路和方法】

　　變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。

　　例1 一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需要10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需要15天完成，現(xiàn)在兩隊(duì)合作，需要幾天完成?

　　解題中的“一項(xiàng)工程”是工作總量，由于沒有給出這項(xiàng)工程的具體數(shù)量，因此，把此項(xiàng)工程看作單位“1”。由于甲隊(duì)獨(dú)做需10天完成，那么每天完成這項(xiàng)工程的 1/10;乙隊(duì)單獨(dú)做需15天完成，每天完成這項(xiàng)工程的1/15;兩隊(duì)合做，每天可以完成這項(xiàng)工程的(1/10+1/15)。

　　由此可以列出算式： 1÷(1/10+1/15)=1÷1/6=6(天)

　　答：兩隊(duì)合做需要6天完成。

　　例2 一批零件，甲獨(dú)做6小時(shí)完成，乙獨(dú)做8小時(shí)完成。現(xiàn)在兩人合做，完成任務(wù)時(shí)甲比乙多做24個(gè)，求這批零件共有多少個(gè)?

　　解設(shè)總工作量為1，則甲每小時(shí)完成1/6，乙每小時(shí)完成1/8，甲比乙每小時(shí)多完成(1/6-1/8)，二人合做時(shí)每小時(shí)完成(1/6+1/8)。因?yàn)槎撕献鲂枰猍1÷(1/6+1/8)]小時(shí)，這個(gè)時(shí)間內(nèi)，甲比乙多做24個(gè)零件，所以

　　(1)每小時(shí)甲比乙多做多少零件?

　　24÷[1÷(1/6+1/8)]=7(個(gè))

　　(2)這批零件共有多少個(gè)?

　　7÷(1/6-1/8)=168(個(gè))

　　答：這批零件共有168個(gè)。

　　解二上面這道題還可以用另一種方法計(jì)算：

　　兩人合做，完成任務(wù)時(shí)甲乙的工作量之比為 1/6∶1/8=4∶3

　　由此可知，甲比乙多完成總工作量的 4-3 / 4+3 =1/7

　　所以，這批零件共有 24÷1/7=168(個(gè))

　　例3 一件工作，甲獨(dú)做12小時(shí)完成，乙獨(dú)做10小時(shí)完成，丙獨(dú)做15小時(shí)完成。現(xiàn)在甲先做2小時(shí)，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時(shí)才能完成?

　　解必須先求出各人每小時(shí)的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會給計(jì)算帶來方便，因此，我們設(shè)總工作量為12、10、和15的某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù)60，則甲乙丙三人的工作效率分別是

　　60÷12=5 60÷10=6 60÷15=4

　　因此余下的工作量由乙丙合做還需要

　　(60-5×2)÷(6+4)=5(小時(shí))

　　答：還需要5小時(shí)才能完成。

　　例4 一個(gè)水池，底部裝有一個(gè)常開的排水管，上部裝有若干個(gè)同樣粗細(xì)的進(jìn)水管。當(dāng)打開4個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要5小時(shí)才能注滿水池;當(dāng)打開2個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要15小時(shí)才能注滿水池;現(xiàn)在要用2小時(shí)將水池注滿，至少要打開多少個(gè)進(jìn)水管?

　　解注(排)水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當(dāng)于一項(xiàng)工程，水的流量就是工作量，單位時(shí)間內(nèi)水的流量就是工作效率。

　　要2小時(shí)內(nèi)將水池注滿，即要使2小時(shí)內(nèi)的進(jìn)水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進(jìn)水管、排水管的工作效率及總工作量(一池水)。只要設(shè)某一個(gè)量為單位1，其余兩個(gè)量便可由條件推出。

　　我們設(shè)每個(gè)同樣的進(jìn)水管每小時(shí)注水量為1，則4個(gè)進(jìn)水管5小時(shí)注水量為(1×4×5)，2個(gè)進(jìn)水管15小時(shí)注水量為(1×2×15)，從而可知

　　每小時(shí)的排水量為 (1×2×15-1×4×5)÷(15-5)=1

　　即一個(gè)排水管與每個(gè)進(jìn)水管的工作效率相同。由此可知

　　一池水的總工作量為 1×4×5-1×5=15

　　又因?yàn)樵?小時(shí)內(nèi)，每個(gè)進(jìn)水管的注水量為 1×2，

　　所以，2小時(shí)內(nèi)注滿一池水

　　至少需要多少個(gè)進(jìn)水管? (15+1×2)÷(1×2)

　　=8.5≈9(個(gè))

　　答：至少需要9個(gè)進(jìn)水管。

　　16 正反比例問題

　　【含義】兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比的比值一定(即商一定)，那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運(yùn)用。

　　兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運(yùn)用。

　　【數(shù)量關(guān)系】

　　判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷。

　　【解題思路和方法】

　　解決這類問題的重要方法是：把分率(倍數(shù))轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。

　　正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。

　　例1 修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米?

　　解由條件知，公路總長不變。

　　原已修長度∶總長度=1∶(1+3)=1∶4=3∶12

　　現(xiàn)已修長度∶總長度=1∶(1+2)=1∶3=4∶12

　　比較以上兩式可知，把總長度當(dāng)作12份，則300米相當(dāng)于(4-3)份，從而知公路總長為 300÷(4-3)×12=3600(米)

　　答：這條公路總長3600米。