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高中數學必修二知識點總結
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高中數學必修二知識點
一、直線與方程
(1)直線的傾斜角
定義:x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角.特別地,當直線與x軸平行或重合時,我們規定它的傾斜角為0度.因此,傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°
(2)直線的斜率
①定義:傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率.直線的斜率常用k表示.即 .斜率反映直線與軸的傾斜程度.
當 時, ; 當 時, ; 當 時, 不存在.
②過兩點的直線的斜率公式:
注意下面四點:(1)當 時,公式右邊無意義,直線的斜率不存在,傾斜角為90°;
(2)k與P1、P2的順序無關;(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得;
(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到.
(3)直線方程
①點斜式: 直線斜率k,且過點
注意:當直線的斜率為0°時,k=0,直線的方程是y=y1.
當直線的斜率為90°時,直線的斜率不存在,它的方程不能用點斜式表示.但因l上每一點的橫坐標都等于x1,所以它的方程是x=x1.
②斜截式: ,直線斜率為k,直線在y軸上的截距為b
③兩點式: ( )直線兩點 ,
④截矩式:
其中直線 與 軸交于點 ,與 軸交于點 ,即 與 軸、 軸的截距分別為 .
⑤一般式: (A,B不全為0)
注意:各式的適用范圍 特殊的方程如:
平行于x軸的直線: (b為常數); 平行于y軸的直線: (a為常數);
(5)直線系方程:即具有某一共同性質的直線
(一)平行直線系
平行于已知直線 ( 是不全為0的常數)的直線系: (C為常數)
(二)垂直直線系
垂直于已知直線 ( 是不全為0的常數)的直線系: (C為常數)
(三)過定點的直線系
(ⅰ)斜率為k的直線系: ,直線過定點 ;
(ⅱ)過兩條直線 , 的交點的直線系方程為
( 為參數),其中直線 不在直線系中.
(6)兩直線平行與垂直
當 , 時,
;
注意:利用斜率判斷直線的平行與垂直時,要注意斜率的存在與否.
(7)兩條直線的交點
相交
交點坐標即方程組 的一組解.
方程組無解 ; 方程組有無數解 與 重合
(8)兩點間距離公式:設 是平面直角坐標系中的兩個點,
則
(9)點到直線距離公式:一點 到直線 的距離
(10)兩平行直線距離公式
在任一直線上任取一點,再轉化為點到直線的距離進行求解.
二、圓的方程
1、圓的定義:平面內到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓,定點為圓心,定長為圓的半徑.
2、圓的方程
(1)標準方程 ,圓心 ,半徑為r;
(2)一般方程
當 時,方程表示圓,此時圓心為 ,半徑為
當 時,表示一個點; 當 時,方程不表示任何圖形.
(3)求圓方程的方法:
一般都采用待定系數法:先設后求.確定一個圓需要三個獨立條件,若利用圓的標準方程,
需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;
另外要注意多利用圓的幾何性質:如弦的中垂線必經過原點,以此來確定圓心的位置.
3、直線與圓的位置關系:
直線與圓的位置關系有相離,相切,相交三種情況:
(1)設直線 ,圓 ,圓心 到l的距離為 ,則有 ; ;
(2)過圓外一點的切線:①k不存在,驗證是否成立②k存在,設點斜式方程,用圓心到該直線距離=半徑,求解k,得到方程【一定兩解】
(3)過圓上一點的切線方程:圓(x-a)2+(y-b)2=r2,圓上一點為(x0,y0),則過此點的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2
4、圓與圓的位置關系:通過兩圓半徑的和(差),與圓心距(d)之間的大小比較來確定.
設圓 ,
兩圓的位置關系常通過兩圓半徑的和(差),與圓心距(d)之間的大小比較來確定.
當 時兩圓外離,此時有公切線四條;
當 時兩圓外切,連心線過切點,有外公切線兩條,內公切線一條;
當 時兩圓相交,連心線垂直平分公共弦,有兩條外公切線;
當 時,兩圓內切,連心線經過切點,只有一條公切線;
當 時,兩圓內含; 當 時,為同心圓.
注意:已知圓上兩點,圓心必在中垂線上;已知兩圓相切,兩圓心與切點共線
圓的輔助線一般為連圓心與切線或者連圓心與弦中點
三、立體幾何初步
1、柱、錐、臺、球的結構特征
(1)棱柱:
幾何特征:兩底面是對應邊平行的全等多邊形;側面、對角面都是平行四邊形;側棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形.
(2)棱錐
幾何特征:側面、對角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似,其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方.
(3)棱臺:
幾何特征:①上下底面是相似的平行多邊形 ②側面是梯形 ③側棱交于原棱錐的頂點
(4)圓柱:定義:以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉,其余三邊旋轉所成
幾何特征:①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側面展開圖是一個矩形.
(5)圓錐:定義:以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸,旋轉一周所成
幾何特征:①底面是一個圓;②母線交于圓錐的頂點;③側面展開圖是一個扇形.
(6)圓臺:定義:以直角梯形的垂直與底邊的腰為旋轉軸,旋轉一周所成
幾何特征:①上下底面是兩個圓;②側面母線交于原圓錐的頂點;③側面展開圖是一個弓形.
(7)球體:定義:以半圓的直徑所在直線為旋轉軸,半圓面旋轉一周形成的.幾何體
幾何特征:①球的截面是圓;②球面上任意一點到球心的距離等于半徑.
2、空間幾何體的三視圖
定義三視圖:正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影);側視圖(從左向右)、
俯視圖(從上向下)
注:正視圖反映了物體的高度和長度;俯視圖反映了物體的長度和寬度;側視圖反映了物體的高度和寬度.
3、空間幾何體的直觀圖--斜二測畫法
斜二測畫法特點:①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變;
②原來與y軸平行的線段仍然與y平行,長度為原來的一半.
4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積
(1)幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和.
(2)特殊幾何體表面積公式(c為底面周長,h為高, 為斜高,l為母線)
(3)柱體、錐體、臺體的體積公式
(4)球體的表面積和體積公式:V = ; S =
4、空間點、直線、平面的位置關系
公理1:如果一條直線的兩點在一個平面內,那么這條直線是所有的點都在這個平面內.
應用: 判斷直線是否在平面內
用符號語言表示公理1:
公理2:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線
符號:平面α和β相交,交線是a,記作α∩β=a.
符號語言:
公理2的作用:
①它是判定兩個平面相交的方法.
②它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關系:交線必過公共點.
③它可以判斷點在直線上,即證若干個點共線的重要依據.
公理3:經過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面.
推論:一直線和直線外一點確定一平面;兩相交直線確定一平面;兩平行直線確定一平面.
公理3及其推論作用:①它是空間內確定平面的依據 ②它是證明平面重合的依據
公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行
空間直線與直線之間的位置關系
① 異面直線定義:不同在任何一個平面內的兩條直線
② 異面直線性質:既不平行,又不相交.
③ 異面直線判定:過平面外一點與平面內一點的直線與平面內不過該店的直線是異面直線
④ 異面直線所成角:作平行,令兩線相交,所得銳角或直角,即所成角.兩條異面直線所成角的范圍是(0°,90°],若兩條異面直線所成的角是直角,我們就說這兩條異面直線互相垂直.
求異面直線所成角步驟:
A、利用定義構造角,可固定一條,平移另一條,或兩條同時平移到某個特殊的位置,頂點選在特殊的位置上. B、證明作出的角即為所求角 C、利用三角形來求角
(7)等角定理:如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行,那么這兩角相等或互補.
(8)空間直線與平面之間的位置關系
直線在平面內--有無數個公共點.
三種位置關系的符號表示:a α a∩α=A a‖α
(9)平面與平面之間的位置關系:平行--沒有公共點;α‖β
相交--有一條公共直線.α∩β=b
5、空間中的平行問題
(1)直線與平面平行的判定及其性質
線面平行的判定定理:平面外一條直線與此平面內一條直線平行,則該直線與此平面平行.
線線平行 線面平行
線面平行的性質定理:如果一條直線和一個平面平行,經過這條直線的平面和這個平面相交,
那么這條直線和交線平行.線面平行 線線平行
(2)平面與平面平行的判定及其性質
兩個平面平行的判定定理
(1)如果一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行
(線面平行→面面平行),
(2)如果在兩個平面內,各有兩組相交直線對應平行,那么這兩個平面平行.
(線線平行→面面平行),
(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行,
兩個平面平行的性質定理
(1)如果兩個平面平行,那么某一個平面內的直線與另一個平面平行.(面面平行→線面平行)
(2)如果兩個平行平面都和第三個平面相交,那么它們的交線平行.(面面平行→線線平行)
7、空間中的垂直問題
(1)線線、面面、線面垂直的定義
①兩條異面直線的垂直:如果兩條異面直線所成的角是直角,就說這兩條異面直線互相垂直.
②線面垂直:如果一條直線和一個平面內的任何一條直線垂直,就說這條直線和這個平面垂直.
③平面和平面垂直:如果兩個平面相交,所成的二面角(從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形)是直二面角(平面角是直角),就說這兩個平面垂直.
(2)垂直關系的判定和性質定理
①線面垂直判定定理和性質定理
判定定理:如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直這個平面.
性質定理:如果兩條直線同垂直于一個平面,那么這兩條直線平行.
②面面垂直的判定定理和性質定理
判定定理:如果一個平面經過另一個平面的一條垂線,那么這兩個平面互相垂直.
性質定理:如果兩個平面互相垂直,那么在一個平面內垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面.
9、空間角問題
(1)直線與直線所成的角
①兩平行直線所成的角:規定為 .
②兩條相交直線所成的角:兩條直線相交其中不大于直角的角,叫這兩條直線所成的角.
③兩條異面直線所成的角:過空間任意一點O,分別作與兩條異面直線a,b平行的直線 ,形成兩條相交直線,這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角.
(2)直線和平面所成的角
①平面的平行線與平面所成的角:規定為 . ②平面的垂線與平面所成的角:規定為 .
③平面的斜線與平面所成的角:平面的一條斜線和它在平面內的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個平面所成的角.
求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角:“一作,二證,三計算”.
在“作角”時依定義關鍵作射影,由射影定義知關鍵在于斜線上一點到面的垂線,
在解題時,注意挖掘題設中兩個主要信息:(1)斜線上一點到面的垂線;(2)過斜線上的一點或過斜線的平面與已知面垂直,由面面垂直性質易得垂線.
(3)二面角和二面角的平面角
①二面角的定義:從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,這兩個半平面叫做二面角的面.
②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一點為頂點,在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫二面角的平面角.
③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角.
兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角,那么這兩個平面垂直;反過來,如果兩個平面垂直,那么所成的二面角為直二面角
④求二面角的方法
定義法:在棱上選擇有關點,過這個點分別在兩個面內作垂直于棱的射線得到平面角
垂面法:已知二面角內一點到兩個面的垂線時,過兩垂線作平面與兩個面的交線所成的角為二面角的平面角
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