初中數(shù)學(xué)《梯形》教案
一、教學(xué)目標(biāo)：
1．通過探究教學(xué)，使學(xué)生掌握“同一底上兩底角相等的梯形是等腰梯形”這個(gè)判定方法，及其此判定方法的證明．
2．能夠運(yùn)用等腰梯形的性質(zhì)和判定方法進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算，體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，數(shù)學(xué)建模的思想，會(huì)用分析法尋求證明題思路，從而進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的分析能力和計(jì)算能力．
3．通過添加輔助線，把梯形的問題轉(zhuǎn)化成平行四邊形或三角形問題，使學(xué)生體會(huì)圖形變換的方法和轉(zhuǎn)化的思想．
二、重點(diǎn)、難點(diǎn)
1．重點(diǎn)：掌握等腰梯形的判定方法并能運(yùn)用．
2．難點(diǎn)：等腰梯形判定方法的運(yùn)用．
三、例題的意圖分析
本節(jié)課安排的例題與練習(xí)較多，可供老師們選用．
例1是教材P119的例2，這是一道計(jì)算題，講解時(shí)要讓學(xué)生注意，已知中并沒有給出等腰梯形的條件，它需要先判定梯形ABCD為等腰梯形，然后再用其性質(zhì)得出結(jié)論．
例2、例3、例4都是補(bǔ)充的題目．其中例2是一道文字題，這道題在進(jìn)行證明時(shí)，可采用“平移對角線”或“作高”兩種不同的方法，通過講解例2，可以再次給學(xué)生介紹解決梯形問題時(shí)輔助線的添加方法．
例3是一道證明等腰梯形的題，它需要先證明其四邊形是梯形，即先證出EG∥AB，此時(shí)還要由AE，BG延長交于O，說明EG≠AB，才能得出四邊形ABGE是梯形．然后再利用同底上的兩角相等得出這個(gè)梯形是等腰梯形．選講此題的目的是為了讓學(xué)生了解和掌握證明一個(gè)四邊形是等腰梯形的步驟與方法．
例4是一道作圖題，新教材P119的練習(xí)4就是一道畫梯形圖的題，此例4與練習(xí)4相同．通過此題的講解與練習(xí)，就是要加強(qiáng)學(xué)生對梯形概念的理解，并了解梯形作圖的一般方法．讓學(xué)生知道梯形的畫圖題，也常常是通過分析，找出需要添加的輔助線，先畫出三角形或四邊形，再根據(jù)它們之間的聯(lián)系畫出所要求的梯形．
四、課堂引入
1．復(fù)習(xí)提問：（1）什么樣的四邊形叫梯形，什么樣的梯形是直角梯形、等腰梯形？
（2）等腰梯形有哪些性質(zhì)？它的性質(zhì)定理是怎樣證明的？
（3）在研究解決梯形問題時(shí)的基本思想和方法是什么？常用的輔助線有哪幾種？
我們已經(jīng)掌握了等腰梯形的性質(zhì)，那么又如何來判定一個(gè)梯形是否是等腰梯形呢？今天我們就共同來研究這個(gè)問題．
2．【提出問題】：前面所學(xué)的特殊四邊形的判定基本上是性質(zhì)的逆命題．等腰梯形同一底上兩個(gè)角相等的逆命題是什么？
命題：同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形
問：這個(gè)命題是否成立？能否加以證明，引導(dǎo)學(xué)生寫出已知、求證．
啟發(fā)：能否轉(zhuǎn)化為特殊四邊形或三角形，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，和求證．
已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C．
求證：AB=CD．
分析：我們學(xué)過“如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)角相等，那么它們所對的.邊相等．”因此，我們只要能將等腰梯形同一底上的兩個(gè)角轉(zhuǎn)化為等腰三角形的兩個(gè)底角，命題就容易證明了．
證明方法1：過點(diǎn)D作DE∥AB交BC于點(diǎn)F，得到△DEC．
∵AB∥DE， ∴∠B=∠1，
∵∠B=∠C， ∴∠1=∠C． ∴DE＝DC．
又∵AD∥BC， ∴DE＝AB=DC．
證明時(shí)，可以仿照性質(zhì)證明時(shí)的分析，來啟發(fā)學(xué)生添加輔助線DE．
證明方法二：用常見的梯形輔助線方法：過點(diǎn)A作AE⊥BC， 過D作DF⊥BC，垂足分別為E、F（見圖一）．
證明方法三： 延長BA、CD相交于點(diǎn)E（見圖二）． 圖一 圖二
通過證明：驗(yàn)證了命題的正確性，從而得到：等腰梯形判定方法
等腰梯形判定方法 在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形．
幾何表達(dá)式：梯形ABCD中，若∠B=∠C，則AB=DC．
【注意】等腰梯形的判定方法：①先判定它是梯形，②再用“兩腰相等”“或同一底上的兩個(gè)角相等”來判定它是等腰梯形．
五、例、習(xí)題分析
例1（教材P119的例2）
例2（補(bǔ)充） 證明：對角線相等的梯形是等腰梯形．
已知：如圖，梯形ABCD中，對角線AC=BD．
求證：梯形ABCD是等腰梯形．
分析：證明本題的關(guān)鍵是如何利用對角線相等的條件來構(gòu)造等腰三角形．在ΔABC和ΔDCB中，已有兩邊對應(yīng)相等，要能證∠1=∠2，就可通過證ΔABC ≌ΔDCB得到AB=DC．
證明：過點(diǎn)D作DE∥AC，交BC的延長線于點(diǎn)E，
又 AD∥BC，∴ 四邊形ACED為平行四邊形， ∴ DE=AC ．
∵ AC=BD ， ∴ DE=BD ∴ ∠1=∠E
∵ ∠2=∠E ， ∴ ∠1=∠2
又 AC=DB，BC=CE， ∴ ΔABC≌ΔDCB． ∴ AB=CD．
∴ 梯形ABCD是等腰梯形．
說明：如果AC、BD交于點(diǎn)O，那么由∠1=∠2可得OB=OC，OA=OD ，即等腰梯形對角線相交，可以得到以交點(diǎn)為頂點(diǎn)的兩個(gè)等腰三角形，這個(gè)結(jié)論雖不能直接引用，但可以為以后解題提供思路．
問：能否有其他證法，引導(dǎo)學(xué)生作出常見輔助線，如圖，作AE⊥BC，DF⊥BC，可證 RtΔABC≌RtΔCAE，得∠1=∠2．
例3（補(bǔ)充） 已知：如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對角線AC上，CF⊥BE交BD于G，F(xiàn)是垂足．求證：四邊形ABGE是等腰梯形．
分析：先證明OE＝OG，從而說明∠OEG＝45°，得出EG∥AB，由AE，BG延長交于O，顯然EG≠AB．得出四邊形ABGE是梯形，再利用同底上的兩角相等得出它為等腰梯形．
例4 （補(bǔ)充）畫一等腰梯形，使它上、下底長分別4cm、12cm，高為3cm，并計(jì)算這個(gè)等腰梯形的周長和面積．
分析：梯形的畫圖題常常通過分析，找出需添加的輔助線，歸結(jié)為三角形或平行四邊形的作圖，然后，再根據(jù)它們之間的聯(lián)系，畫出所要求的梯形．
如圖，先算出AB長，可畫等腰三角形ABE，然后完成 AECD的畫圖．
畫法：①畫ΔABE，使BE=12—4=8cm．
.
②延長BE到C使EC=4cm.
③分別過A、C作AD∥BC ，CD∥AE，AD、CD交于點(diǎn)D．
四邊形ABCD就是所求的等腰梯形．
解：梯形ABCD周長＝4＋12＋5×2＝26cm ．
答：梯形周長為26cm，面積為24 ．
六、隨堂練習(xí)
1．下列說法中正確的是（ ）．
（A）等腰梯形兩底角相等
（B）等腰梯形的一組對邊相等且平行
（C）等腰梯形同一底上的兩個(gè)角都等于90度
（D）等腰梯形的四個(gè)內(nèi)角中不可能有直角
2．已知等腰梯形的周長25cm,上、下底分別為7cm、8cm，則腰長為_______cm．
3．已知等腰梯形中的腰和上底相等，且一條對角線和一腰垂直，求這個(gè)梯形的各個(gè)角的度數(shù)．
4．已知，如圖，在四邊形ABCD中，AB＞DC，∠1=∠2，AC=BD，求證：四邊形ABCD是等腰梯形．
（略證 ，AD=BC， ，∴ AB∥DC）
5．已知，如圖，E、F分別是梯形ABCD的兩底AD、BC的中點(diǎn)，且EF⊥BC，求證：梯形ABCD是等腰梯形．
七、課后練習(xí)
1．等腰梯形一底角 ，上、下底分別為8，18，則它的腰長為______，高為______，面積是_________．
2．梯形兩條對角線分別為15，20，高為12，則此梯形面積為_________．
3．已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠C，AB與CD不平行，且AB=CD．求證：四邊形ABCD是等腰梯形．
4．如圖4.9-9，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，CE⊥AB于E，若AC⊥BD于G．求證：CE= （AB+CD）．
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