最新奧數試題解析

          時間:2022-09-24 13:00:56 試題 我要投稿
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          2018最新奧數試題解析

            甲多開支100元,三年后負債600元.求每人每年收入多少?

          2018最新奧數試題解析

            S的末四位數字的和是多少?

            一個人以3千米/小時的速度上坡,以6千米/小時的速度下坡,行程12千米共用了3小時20分鐘,試求上坡與下坡的路程.

            求和

            證明:質數p除以30所得的余數一定不是合數.

            若兩個整數x,y使x2+xy+y2能被9整除,證明:x和y能被3整除.

            如圖1-95所示.在四邊形ABCD中,對角線AC,BD的中點為M,N,MN的延長線與AB邊交于P點.求證:△PCD的面積等于四邊形ABCD的面積的一半.

            答案解析:

            所以 x=5000(元).

            所以S的末四位數字的和為1+9+9+5=24.

            因為

            時,a-b0,即ab.即當b0或b0時,等式成立.4.設上坡路程為x千米,下坡路程為y千米.依題意則

            有

            由②有2x+y=20, ③

            由①有y=12-x.將之代入③得

            2x+12-x=20.

            所以x=8(千米),于是y=4(千米).

            5.第n項為

            所以設p=30q+r,030.因為p為質數,故r0,即0

            由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq,即

            (4-m)pq+1=2(p+q).

            可知m4.由①,m0,且為整數,所以m=1,2,3.下面分別研究p,q.

            (1)若m=1時,有

            解得p=1,q=1,與已知不符,舍去.

            (2)若m=2時,有

            因為2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的,故m=2時無解.

            (3)若m=3時,有

            解之得

            故 p+q=8.

            8.因為x2+xy+y2=(x-y)2+3xy.由題設,9|(x2+xy+y2),所以3|(x2+xy+y2),從而3|(x-y)2.因為3是質數,故3|(x-y).進而9|(x-y)2.由上式又可知,9|3xy,故3|xy.所以3|x或3|y.若3|x,結合3(x-y),便得3|y;若3|y,同理可得,3|x.

            9.連結AN,CN,如圖1-103所示.因為N是BD的中點,所以上述兩式相加

            另一方面,S△PCD=S△CND+S△CNP+S△DNP.

            因此只需證明

            S△AND=S△CNP+S△DNP.

            由于M,N分別為AC,BD的中點,所以

            S△CNP=S△CPM-S△CMN

            =S△APM-S△AMN

            =S△ANP.

            又S△DNP=S△BNP,所以

            S△CNP+S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND.

            奧數試題解析

            甲多開支100元,三年后負

            債600元.求每人每年收入多少?

            S的末四位數字的和是多少?

            一個人以3千米/小時的速度上坡,以6千米/小時的速度下坡,行程12千米共用了3小時20分鐘,試求上坡與下坡的路程.

            求和

            證明:質數p除以30所得的余數一定不是合數.

            若兩個整數x,y使x2+xy+y2能被9整除,證明:x和y能被3整除.

            如圖1-95所示.在四邊形ABCD中,對角線AC,BD的中點為M,N,MN的延長線與AB邊交于P點.求證:△PCD的面積等于四邊形ABCD的面積的一半.

            答案解析:

            所以 x=5000(元).

            所以S的末四位數字的和為1+9+9+5=24.

            因為

            時,a-b0,即ab.即當b0或b0時,等式成立.4.設上坡路程為x千米,下坡路程為y千米.依題意則

            有

            由②有2x+y=20, ③

            由①有y=12-x.將之代入③得

            2x+12-x=20.

            所以x=8(千米),于是y=4(千米).

            5.第n項為

            所以

            設p=30q+r,030.因為p為質數,故r0,即0

            由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq,即

            (4-m)pq+1=2(p+q).

            可知m4.由①,m0,且為整數,所以m=1,2,3.下面分別研究p,q.

            (1)若m=1時,有

            解得p=1,q=1,與已知不符,舍去.

            (2)若m=2時,有

            因為2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的,故m=2時無解.

            (3)若m=3時,有

            解之得

            故 p+q=8.

            8.因為x2+xy+y2=(x-y)2+3xy.由題設,9|(x2+xy+y2),所以3|(x2+xy+y2),從而3|(x-y)2.因為3是質數,故3|(x-y).進而9|(x-y)2.由上式又可知,9|3xy,故3|xy.所以3|x或3|y.若3|x,結合3(x-y),便得3|y;若3|y,同理可得,3|x.

            9.連結AN,CN,如圖1-103所示.因為N是BD的中點,所以上述兩式相加

            另一方面,S△PCD=S△CND+S△CNP+S△DNP.

            因此只需證明

            S△AND=S△CNP+S△DNP.

            由于M,N分別為AC,BD的中點,所以

            S△CNP=S△CPM-S△CMN

            =S△APM-S△AMN

            =S△ANP.

            又S△DNP=S△BNP,所以

            S△CNP+S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND.


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