應用舉例的測試題

          時間:2021-06-11 16:38:21 試題 我要投稿

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            一、選擇題

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            1.飛機沿水平方向飛行,在處測得正前下方地面目標的俯角為,向前飛行米,到達處,此時測得目標的俯角為,這時飛機與地面目標的直線距離為( ).

            A.米 B.米 C.米 D.米

            考查目的:考查正弦定理的應用.

            答案:B.

            解析:如圖,在中,根據正弦定理得,解得(米).

            2.某人向正東方向走,然后右轉,朝前走,結果他離出發點恰好,則的值為( ).

            A. B. C.或 D.

            考查目的:考查余弦定理、方程思想.

            答案:C.

            解析:根據余弦定理得,化簡并整理得,解得或.

            3. (由2010浙江文改編)在中,角所對的邊分別為,設為的面積,滿足,則角的大小為( ).

            A. B. C.或 D.或

            考查目的:考查余弦定理、三角形面積公式、三角變換等基礎知識.

            答案:B

            解析:∵,∴根據余弦定理和三角形面積公式得,∴,.

            二、填空題

            4.(2008江蘇卷)在中,若,,則的最大值是 .

            考查目的:考查三角形面積公式、余弦定理以及函數思想.

            答案:.

            解析:設,則,根據面積公式得;根據余弦定理得,∴,

            由三角形三邊關系有,解得,故當時,取得最大值.

            5.(2011安徽理)已知的一個內角為,并且三邊長構成公差為4的等差數列,則的面積為_______________.

            考查目的':考查余弦定理、等差數列的概念及三角形面積公式.

            答案:.

            解析:根據題意,可設的三邊長分別為,由得.由余弦定理得,解得(舍去),∴

            6.如圖,某炮兵陣地位于點,兩觀察所位于兩點,已知為正三角形,且,當目標出現在時,測得,則炮兵陣地與目標的距離約為 (精確到).

            考查目的:考查利用正弦定理、余弦定理解決實際問題的能力.

            答案:.

            解析:如圖,,在中,由正弦定理得,∴.在中,,由余弦定理得

            三、解答題:

            7.(2007海南、寧夏)如圖,測量河對岸的塔高時,可以選與塔底在同一水平面內的兩個側點與.現測得,,并在點測得塔頂的仰角為,求塔高.

            考查目的:考查正弦定理、直角三角形的邊角關系以及空間想象能力和運算求解能力.

            答案:.

            解析:在中,.由正弦定理得,∴.在中,.

            8.(2010福建理)某港口要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上. 在小艇出發時,輪船位于港口北偏西且與該港口相距海里的處,并以海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛. 假設該小船沿直線方向以海里/小時的航行速度勻速行駛,經過小時與輪船相遇.

            ⑴若希望相遇時小艇的航行距離最小,則小艇航行速度的大小應為多少?

            ⑵假設小艇的最高航行速度只能達到海里/小時,試設計航行方案(即確定航行方向與航行速度的大小),使得小艇能以最短時間與輪船相遇,并說明理由.

            考查目的:考查利用直角三角形的邊角關系、余弦定理解三角形,以及綜合運用知識分析問題解決問題的能力.

            答案:⑴海里/小時,⑵航行方向是北偏東,航行速度為海里/小時.

            解析:(方法一)⑴設相遇時小艇航行的距離為海里,則 ,∴當時,,此時,即小艇以海里/小時的速度航行,相遇時小艇的航行距離最小.

            ⑵設小艇與輪船在處相遇,則,∴. ∵,∴,即,解得.又∵時,,故時,取得最小值,且最小值等于.

            此時,在中,有,故可設計航行方案如下:航行方向是北偏東,航行速度為海里/小時,這樣,小艇能以最短時間與輪船相遇.

            (方法二)⑴若相遇時小艇的航行距離最小,又輪船沿正東方向勻速行駛,則小艇航行方向為正北方向,設小艇與輪船在處相遇. 在中,,;又,,此時,輪船航行時間,即小艇以海里/小時的速度航行,相遇時小艇的航行距離最小.

            ⑵猜想時,小艇能以最短時間與輪船在處相遇,此時.又∵,∴,解得.

            據此可設計航行方案如下:航行方向為北偏東,航行速度的大小為海里/小時,這樣,小艇能以最短時間與輪船相遇. 證明如下:

            如圖,由⑴得,故,且對于線段上任意點,有. 而小艇的最高航行速度只能達到海里/小時,故小艇與輪船不可能在,之間(包含)的任意位置相遇.

            設,則在中,.由于從出發到相遇,輪船與小艇所需要的時間分別為和,∴,由此可得,.又∵,∴,從而,由于時,取得最小值,于是當時,取得最小值,且最小值為,故可設計航行方案如下:航行方向為北偏東,航行速度為海里/小時,小艇能以最短時間與輪船相遇.

            (方法三)⑴同方法一或方法二.

            ⑵設小艇與輪船在處相遇,依題意得,∴.

            (i)若,則由得,,∴.①當時,令,則,,當且僅當即時等號成立.

            ②當時,同理可得. 由①②得,當時,.

            (ii)若,則.

            綜合(i)(ii)可知,當時,取最小值,此時,在中,,故可設計航行方案如下:航行方向為北偏東,航行速度為海里/小時,小艇能以最短時間與輪船相遇.

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