高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)歸納

          時間:2022-02-15 12:44:13 總結(jié) 我要投稿

          高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)歸納

            上學(xué)期間,看到知識點,都是先收藏再說吧!知識點就是一些常考的內(nèi)容,或者考試經(jīng)常出題的地方。哪些知識點能夠真正幫助到我們呢?下面是小編精心整理的高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)歸納,希望能夠幫助到大家。

          高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)歸納

            高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)歸納 1

            (1)直線的傾斜角

            定義:x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角.特別地,當(dāng)直線與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度.因此,傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°

            (2)直線的斜率

            ①定義:傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率.直線的斜率常用k表示.即.斜率反映直線與軸的傾斜程度.

            當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,不存在.

            ②過兩點的直線的斜率公式:

            注意下面四點:(1)當(dāng)時,公式右邊無意義,直線的斜率不存在,傾斜角為90°;

            (2)k與P1、P2的順序無關(guān);(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標(biāo)直接求得;

            (4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標(biāo)先求斜率得到.

            (3)直線方程

            ①點斜式:直線斜率k,且過點

            注意:當(dāng)直線的斜率為0°時,k=0,直線的方程是y=y1.

            當(dāng)直線的斜率為90°時,直線的斜率不存在,它的方程不能用點斜式表示.但因l上每一點的橫坐標(biāo)都等于x1,所以它的方程是x=x1.

            ②斜截式:,直線斜率為k,直線在y軸上的截距為b

            ③兩點式:()直線兩點,

            ④截矩式:

            其中直線與軸交于點,與軸交于點,即與軸、軸的截距分別為.

            ⑤一般式:(A,B不全為0)

            注意:各式的適用范圍特殊的方程如:

            平行于x軸的直線:(b為常數(shù));平行于y軸的直線:(a為常數(shù));

            (5)直線系方程:即具有某一共同性質(zhì)的直線

            (一)平行直線系

            平行于已知直線(是不全為0的常數(shù))的直線系:(C為常數(shù))

            (二)垂直直線系

            垂直于已知直線(是不全為0的常數(shù))的直線系:(C為常數(shù))

            (三)過定點的直線系

            (ⅰ)斜率為k的直線系:,直線過定點;

            (ⅱ)過兩條直線,的交點的直線系方程為

            (為參數(shù)),其中直線不在直線系中.

            (6)兩直線平行與垂直

            注意:利用斜率判斷直線的平行與垂直時,要注意斜率的存在與否.

            (7)兩條直線的交點

            相交

            交點坐標(biāo)即方程組的一組解.

            方程組無解;方程組有無數(shù)解與重合

            (8)兩點間距離公式:設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個點

            (9)點到直線距離公式:一點到直線的距離

            (10)兩平行直線距離公式

            在任一直線上任取一點,再轉(zhuǎn)化為點到直線的距離進(jìn)行求解.

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            對數(shù)函數(shù)

            對數(shù)函數(shù)的一般形式為,它實際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定,同樣適用于對數(shù)函數(shù)。

            右圖給出對于不同大小a所表示的函數(shù)圖形:

            可以看到對數(shù)函數(shù)的圖形只不過的指數(shù)函數(shù)的圖形的關(guān)于直線y=x的對稱圖形,因為它們互為反函數(shù)。

            (1)對數(shù)函數(shù)的定義域為大于0的實數(shù)集合。

            (2)對數(shù)函數(shù)的值域為全部實數(shù)集合。

            (3)函數(shù)總是通過(1,0)這點。

            (4)a大于1時,為單調(diào)遞增函數(shù),并且上凸;a小于1大于0時,函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù),并且下凹。

            (5)顯然對數(shù)函數(shù)。

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            平面向量

            向量:既有大小,又有方向的量.

            數(shù)量:只有大小,沒有方向的量.

            有向線段的三要素:起點、方向、長度.

            零向量:長度為的向量.

            單位向量:長度等于個單位的向量.

            相等向量:長度相等且方向相同的向量

            &向量的運算

            加法運算

            AB+BC=AC,這種計算法則叫做向量加法的三角形法則。

            已知兩個從同一點O出發(fā)的兩個向量OA、OB,以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OACB,則以O(shè)為起點的對角線OC就是向量OA、OB的和,這種計算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。

            對于零向量和任意向量a,有:0+a=a+0=a。

            |a+b|≤|a|+|b|。

            向量的加法滿足所有的加法運算定律。

            減法運算

            與a長度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,-(-a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量

            (1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。

            數(shù)乘運算

            實數(shù)λ與向量a的積是一個向量,這種運算叫做向量的數(shù)乘,記作λa,|λa|=|λ||a|,當(dāng)λ>0時,λa的方向和a的方向相同,當(dāng)λ<0時,λa的方向和a的方向相反,當(dāng)λ=0時,λa=0。

            設(shè)λ、μ是實數(shù),那么:(1)(λμ)a=λ(μa)(2)(λμ)a=λaμa(3)λ(a±b)=λa±λb(4)(-λ)a=-(λa)=λ(-a)。

            向量的加法運算、減法運算、數(shù)乘運算統(tǒng)稱線性運算。

            向量的數(shù)量積

            已知兩個非零向量a、b,那么|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積,記作a?b,θ是a與b的夾角,|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量與任意向量的數(shù)量積為0。

            a?b的幾何意義:數(shù)量積a?b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積。

            兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。

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            一、集合及其表示

            1、集合的含義:

            “集合”這個詞首先讓我們想到的是上體育課或者開會時老師經(jīng)常喊的“全體集合”。數(shù)學(xué)上的“集合”和這個意思是一樣的,只不過一個是動詞一個是名詞而已。

            所以集合的含義是:某些指定的對象集在一起就成為一個集合,簡稱集,其中每一個對象叫元素。比如高一二班集合,那么所有高一二班的同學(xué)就構(gòu)成了一個集合,每一個同學(xué)就稱為這個集合的元素。

            2、集合的表示

            通常用大寫字母表示集合,用小寫字母表示元素,如集合A={a,b,c}。a、b、c就是集合A中的元素,記作a∈A,相反,d不屬于集合A,記作d?A。

            有一些特殊的集合需要記憶:

            非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)N正整數(shù)集N_或N+

            整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R

            集合的表示方法:列舉法與描述法。

            ①列舉法:{a,b,c……}

            ②描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來。如{x?R|x-3>2},{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1}

            ③語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

            例:不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2}

            強調(diào):描述法表示集合應(yīng)注意集合的代表元素

            A={(x,y)|y=x2+3x+2}與B={y|y=x2+3x+2}不同。集合A中是數(shù)組元素(x,y),集合B中只有元素y。

            3、集合的三個特性

            (1)無序性

            指集合中的元素排列沒有順序,如集合A={1,2},集合B={2,1},則集合A=B。

            例題:集合A={1,2},B={a,b},若A=B,求a、b的值。

            解:,A=B

            注意:該題有兩組解。

            (2)互異性

            指集合中的元素不能重復(fù),A={2,2}只能表示為{2}

            (3)確定性

            集合的確定性是指組成集合的元素的性質(zhì)必須明確,不允許有模棱兩可、含混不清的.情況。

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            指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

            1、指數(shù)函數(shù)的概念:一般地,函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)(exponential),其中x是自變量,函數(shù)的定義域為R.

            注意:指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍,底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1.

            2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

            【函數(shù)的應(yīng)用】

            1、函數(shù)零點的概念:對于函數(shù),把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。

            2、函數(shù)零點的意義:函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根,亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)。即:

            方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點.

            3、函數(shù)零點的求法:

            求函數(shù)的零點:

            1(代數(shù)法)求方程的實數(shù)根;

            2(幾何法)對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點.

            4、二次函數(shù)的零點:

            二次函數(shù).

            1)△>0,方程有兩不等實根,二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點,二次函數(shù)有兩個零點.

            2)△=0,方程有兩相等實根(二重根),二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點,二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點.

            3)△<0,方程無實根,二次函數(shù)的圖象與軸無交點,二次函數(shù)無零點.

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            1、函數(shù)零點的定義

            (1)對于函數(shù))(xfy,我們把方程0)(xf的實數(shù)根叫做函數(shù))(xfy)的零點。

            (2)方程0)(xf有實根函數(shù)(yfx)的圖像與x軸有交點函數(shù)(yfx)有零點。因此判斷一個函數(shù)是否有零點,有幾個零點,就是判斷方程0)(xf是否有實數(shù)根,有幾個實數(shù)根。函數(shù)零點的求法:解方程0)(xf,所得實數(shù)根就是(fx)的零點(3)變號零點與不變號零點

            ①若函數(shù)(fx)在零點0x左右兩側(cè)的函數(shù)值異號,則稱該零點為函數(shù)(fx)的變號零點。②若函數(shù)(fx)在零點0x左右兩側(cè)的函數(shù)值同號,則稱該零點為函數(shù)(fx)的不變號零點。

            ③若函數(shù)(fx)在區(qū)間,ab上的圖像是一條連續(xù)的曲線,則0

            2、函數(shù)零點的判定

            (1)零點存在性定理:如果函數(shù))(xfy在區(qū)間],[ba上的圖象是連續(xù)不斷的曲線,并且有(fa)(fb),那么,函數(shù)(xfy)在區(qū)間,ab內(nèi)有零點,即存在,(0bax,使得0)(0xf,這個0x也就是方程0)(xf的根。

            (2)函數(shù))(xfy零點個數(shù)(或方程0)(xf實數(shù)根的個數(shù))確定方法

            ①代數(shù)法:函數(shù))(xfy的零點0)(xf的根;②(幾何法)對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù))(xfy的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點。

            (3)零點個數(shù)確定

            0)(xfy有2個零點0)(xf有兩個不等實根;0)(xfy有1個零點0)(xf有兩個相等實根;0)(xfy無零點0)(xf無實根;對于二次函數(shù)在區(qū)間,ab上的零點個數(shù),要結(jié)合圖像進(jìn)行確定.

            3、二分法

            (1)二分法的定義:對于在區(qū)間[,]ab上連續(xù)不斷且(fa)(fb)的函數(shù)(yfx),通過不斷地把函數(shù)(yfx)的零點所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進(jìn)而得到零點的近似值的方法叫做二分法;

            (2)用二分法求方程的近似解的步驟:

            ①確定區(qū)間[,]ab,驗證(fa)(fb)給定精確度e;

            ②求區(qū)間(,)ab的中點c;③計算(fc);

            (ⅰ)若(fc),則c就是函數(shù)的零點;

            (ⅱ)若(fa)(fc),則令bc(此時零點0(,)xac);(ⅲ)若(fc)(fb),則令ac(此時零點0(,)xcb);

            ④判斷是否達(dá)到精確度e,即ab,則得到零點近似值為a(或b);否則重復(fù)②至④步.

            高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)歸納 7

            一:函數(shù)模型及其應(yīng)用

            本節(jié)主要包括函數(shù)的模型、函數(shù)的應(yīng)用等知識點。主要是理解函數(shù)解應(yīng)用題的一般步驟靈活利用函數(shù)解答實際應(yīng)用題。

            1、常見的函數(shù)模型有一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型、對數(shù)函數(shù)模型、分段函數(shù)模型等。

            2、用函數(shù)解應(yīng)用題的基本步驟是:

            (1)閱讀并且理解題意。(關(guān)鍵是數(shù)據(jù)、字母的實際意義);

            (2)設(shè)量建模;

            (3)求解函數(shù)模型;

            (4)簡要回答實際問題。

            常見考法:

            本節(jié)知識在段考和高考中考查的形式多樣,頻率較高,選擇題、填空題和解答題都有。多考查分段函數(shù)和較復(fù)雜的函數(shù)的最值等問題,屬于拔高題,難度較大。

            誤區(qū)提醒:

            1、求解應(yīng)用性問題時,不僅要考慮函數(shù)本身的定義域,還要結(jié)合實際問題理解自變量的取值范圍。

            2、求解應(yīng)用性問題時,首先要弄清題意,分清條件和結(jié)論,抓住關(guān)鍵詞和量,理順數(shù)量關(guān)系,然后將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

            【典型例題】

            例1:

            (1)某種儲蓄的月利率是0。36%,今存入本金100元,求本金與利息的和(即本息和)y(元)與所存月數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式,并計算5個月后的本息和(不計復(fù)利)。

            (2)按復(fù)利計算利息的一種儲蓄,本金為a元,每期利率為r,設(shè)本利和為y,存期為x,寫出本利和y隨存期x變化的函數(shù)式。如果存入本金1000元,每期利率2。25%,試計算5期后的本利和是多少?解:(1)利息=本金×月利率×月數(shù)。y=100+100×0。36%·x=100+0。36x,當(dāng)x=5時,y=101。8,∴5個月后的本息和為101。8元。

            例2:

            某民營企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查和預(yù)測,A產(chǎn)品的利潤與投資成正比,其關(guān)系如圖1,B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖2(注:利潤與投資單位是萬元)

            (1)分別將A,B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù),并寫出它們的函數(shù)關(guān)系式。

            (2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金,并全部投入A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),問:怎樣分配這10萬元投資,才能是企業(yè)獲得利潤,其利潤約為多少萬元。(精確到1萬元)。

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            高一數(shù)學(xué)集合有關(guān)概念

            集合的含義

            集合的中元素的三個特性:

            元素的確定性如:世界上的山

            元素的互異性如:由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}

            元素的無序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合

            3。集合的表示:{…}如:{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

            用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

            集合的表示方法:列舉法與描述法。

            注意:常用數(shù)集及其記法:

            非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作:N

            正整數(shù)集N_N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R

            列舉法:{a,b,c……}

            描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。{x(R|x—3>2},{x|x—3>2}

            語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

            Venn圖:

            4、集合的分類:

            有限集含有有限個元素的集合

            無限集含有無限個元素的集合

            空集不含任何元素的集合例:{x|x2=—5}

            高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)歸納 9

            集合間的基本關(guān)系

            1.子集,A包含于B,記為:,有兩種可能

            (1)A是B的一部分,

            (2)A與B是同一集合,A=B,A、B兩集合中元素都相同。

            反之:集合A不包含于集合B,記作。

            如:集合A={1,2,3},B={1,2,3,4},C={1,2,3,4},三個集合的關(guān)系可以表示為,,B=C。A是C的子集,同時A也是C的真子集。

            2.真子集:如果A?B,且A?B那就說集合A是集合B的真子集,記作AB(或BA)

            3、不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ。Φ是任何集合的子集。

            4、有n個元素的集合,含有2n個子集,2n-1個真子集,含有2n-2個非空真子集。如A={1,2,3,4,5},則集合A有25=32個子集,25-1=31個真子集,25-2=30個非空真子集。

            例:集合共有個子集。(13年高考第4題,簡單)

            練習(xí):A={1,2,3},B={1,2,3,4},請問A集合有多少個子集,并寫出子集,B集合有多少個非空真子集,并將其寫出來。

            解析:

            集合A有3個元素,所以有23=8個子集。分別為:①不含任何元素的子集Φ;②含有1個元素的子集{1}{2}{3};③含有兩個元素的子集{1,2}{1,3}{2,3};④含有三個元素的子集{1,2,3}。

            集合B有4個元素,所以有24-2=14個非空真子集。具體的子集自己寫出來。

            此處這么羅嗦主要是為了讓同學(xué)們注意寫的順序,數(shù)學(xué)就是要講究嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性的。一定要養(yǎng)成自己的邏輯習(xí)慣。如果就是為了提高計算能力倒不如直接去菜場賣菜算了,絕對能飛速提高的,那學(xué)數(shù)學(xué)也沒什么必要了。

            高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)歸納 10

            基本初等函數(shù)

            一、指數(shù)函數(shù)

            (一)指數(shù)與指數(shù)冪的運算

            1、根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根(nthroot),其中>1,且∈

            當(dāng)是奇數(shù)時,正數(shù)的次方根是一個正數(shù),負(fù)數(shù)的次方根是一個負(fù)數(shù)。此時,的次方根用符號表示。式子叫做根式(radical),這里叫做根指數(shù)(radicalexponent),叫做被開方數(shù)(radicand)。

            當(dāng)是偶數(shù)時,正數(shù)的次方根有兩個,這兩個數(shù)互為相反數(shù)。此時,正數(shù)的正的次方根用符號表示,負(fù)的次方根用符號—表示。正的次方根與負(fù)的次方根可以合并成±(>0)。由此可得:負(fù)數(shù)沒有偶次方根;0的任何次方根都是0,記作。

            注意:當(dāng)是奇數(shù)時,當(dāng)是偶數(shù)時,

            2、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

            正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義,規(guī)定:

            0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義

            指出:規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后,指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù),那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪。

            3、實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)

            (二)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

            1、指數(shù)函數(shù)的概念:一般地,函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)(exponential),其中x是自變量,函數(shù)的定義域為R。

            注意:指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍,底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1。

            2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

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